Question

11．已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线AC折起，使二面角B-AC-D为60°，则点B到△ACD所在平面的距离为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用折叠前后的量的关系可得∠BGD为二面角B-AC-D的平面角，在平面BGD中，过B作BO⊥DG，垂足为O，由面面垂直的性质可得BO为B到△ACD所在平面的距离．然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，
连接AC，BD，交于G，则BG⊥AC，DG⊥AC，且BG=AG=$\sqrt{3}$．
沿对角线AC折起，使二面角B-AC-D为60°，如图2，
由BG⊥AC，DG⊥AC，可知∠BGD为二面角B-AC-D的平面角等于60°．
且AC⊥平面BGD，
又AC?平面ACD，则平面BGD⊥平面ADC，平面BGD∩平面ADC=DG，
在平面BGD中，过B作BO⊥DG，垂足为O，则BO⊥平面ADC，
即BO为B到△ACD所在平面的距离．
在Rt△BOG中，由BG=$\sqrt{3}$，∠BGO=60°，得BO=$\sqrt{3}sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查空间中点线面间距离的计算，考查空间想象能力与思维能力，关键是明确折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题．