Question

9．已知函数f（x）=a（x+a）（x-a+3），g（x）=2^x+2-1，若对任意x∈R，f（x）＞0和g（x）＞0至少有一个成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，3）
• C． （-2，-1）∪（1，+∞）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 当x≤-2时，g（x）＞0不成立，f（x）＞0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-a＞-2\\ a-3＞-2\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：由g（x）=2^x+2-1≤0，得x≤-2，
故x≤-2时，g（x）＞0不成立，
从而对任意x≤-2，f（x）＞0恒成立，
由于a（x+a）（x-a+3）＞0对任意x≤-2恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-a＞-2\\ a-3＞-2\end{array}\right.$，
解得1＜a＜2．
则实数a的取值范围是（1，2）．
故选：A

点评 本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．