Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（1）证明数列{a_n}是等差数列；  
（2）求数列{

1

anan+1

}的前n项的和T_n；
（3）求T_n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和a_n+1=S_n+1-S_n可得，a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-4n，化简可得a_n+1-a_n=4，由等差数列的定义即可得结论；
（2）由（1）可得a_n=4n-3，代入

1

anan+1

化简，由裂项相消法求出前n项的和T_n；
（3）根据（2）的表达式判断出T_n的单调性，再求出T_n的范围．

解答： 证明：（1）由S_n=na_n-2n（n-1），
则S_n+1=na_n+1-2（n+1）n，
又由a_n+1=S_n+1-S_n可得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
即a_n+1-a_n=4，
则数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列；
解：（2）由（1）可得，a_n=4n-3，
则

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
所以T_n=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]
=

1

4

（1-

1

4n+1

）；
（3）由（2）得，T_n=

1

4

（1-

1

4n+1

），且n取正整数，
所以T_n随着n的增大而增大，且T_n＜

1

4

，
当n=1时，T_n取到最小值是

1

5

，
故T_n的取值范围是[

1

5

，

1

4

）．

点评：本题考查等差数列的定义、通项公式，a_n+1=S_n+1-S_n的关系，裂项相消法求数列的前n项和，以及利用数列函数特性求出前n项和的取值范围，是常考的题型．