题目内容
【题目】如图，矩形
为一张台球桌面，
，
.从点
击出一个球，其可无限次经台球桌四边反弹运行.已知该球经过矩形的中心
.
（1）试求所有整点
的个数，使得该球可以经过点
；
（2）若该球在上述
、两点间的最短路径长为
，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将矩形
及点
、
整体向右、上方向翻转复制，得到一系列矩形.
设第
列、第
行矩形中、的像分别为
、
.则
；
，
，
，
.
设
、
的斜率分别为
、
.则
， ①
，
，
，
.
故经过点的球可以经过点
存在
、
、
、
，使得
. ②
为使式②成立，必须
，
.
故.
（2）下面利用式②验证球可以经过上述点
，并计算
.
对前五个点，有
，且
，
，
.
对中间四个点，有
，故球在、之间必须经台球桌四边之一反弹，有
，
.
从而，
，
.
对
，若球在某一矩形内直接经过
、
（不必经矩形边反弹），则
.
此时，由式①知
，且
.但当时，
，矛盾.
若球在、之间只反弹一次，则球经过某两个相邻的矩形中的
、，有
，但由式①有
，矛盾.
故球在、之间必须经台球桌四边反弹至少两次，有
.
从而，
.
综上，所求整点有11个，且.
【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
，
得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）记
表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计的概率；
（Ⅲ）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请在答题卡上将
列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
参考公式及数据：
，
．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
