Question

【题目】等边的边长为3，点分别为上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接， （如图2）

（1）求证： 平面；

（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：(1) 由 ，等边三角形的边长为3.所以可得,所以在三角形ADE翻折过程中始终成立.又由于成直二面角.由平面与平面垂直的性质定理可得平面.

（2）由于平面 平面BCED.假设存在点P，过点P作BD的垂线，垂足为H.则为所求的角.假设BP的长为x，根据题意分别求出相应的线段.即可得结论.

(1) 因为等边△的边长为3,且 ,

所以, ．

在△中, ,

由余弦定理得．

因为,

所以． （4分）

折叠后有

因为二面角是直二面角,所以平面 平面

又平面 平面 ,平面, ,

所以平面（6分）

（2）由(1)的证明,可知,平面．

以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图

设 ,

则, ,

所以, ,

所以（8分）

因为平面,

所以平面的一个法向量为

因为直线与平面所成的角为,

所以

, （10分）

解得

即,满足,符合题意

所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时（12分）