Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左顶点为，过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线和，分别交直线于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的面积的最小值；

（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，椭圆的右顶点为，求证：，，三点共线．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）9（Ⅲ）详见解析

【解析】

（Ⅰ）求出a的值，根据离心率求出c的值，从而求出椭圆的方程；

（Ⅱ）设出l1的方程，表示出M，N的坐标，表示出|MN|，表示出△FMN的面积，根据不等式的性质求出面积的最小值即可；

（Ⅲ）联立直线和椭圆的方程，表示出P的坐标，求出直线BP，BN的斜率，判断即可．

解：（Ⅰ）由题意，离心率，所以．所以．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ），由题意，设，，

令得：，，所以.

设d为点F到直线l的距离，则的面积为

．当且仅当，

即时，的面积的最小值为．

（Ⅲ）直线的方程为，由消元，得

，即，

设，则，

所以．

所以．又，，

所以所以，所以三点共线．