Question

【题目】设函数，，，其中是的导函数．

（1）令，，，猜想的表达式，并给出证明；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据，，由，得到，，…，猜想，再用数学归纳法证明．

（2）由恒成立，得到恒成立，令，用导数法研究成立即可.

（1）因为，．

所以，，…，可猜想．

下面用数学归纳法证明．

①当时，，结论成立．

②假设当时结论成立，即．

则当时，，结论成立．

由①②可知，结论对成立．

（2）法1：已知恒成立，即恒成立．

设，

则，

当时，（当且仅当，时等号成立），

∴在上单调递增．

又，∴在上恒成立，

∴当时，恒成立（当且仅当时等号成立）．

当时，对，有，

∴在上单调递减，∴．

即当时，存在，使，

∴不恒成立．

综上可知，的取值范围是．

法2：已知恒成立，即恒成立．

当时，无论取什么值，都成立；

当时，，

令，，

∴，

令，∴，

故在上单调递增，

∴，即，

∴在上单调递增，

∵，

∴，即的取值范围是．

法3：已知恒成立，

即恒成立．，

，

令，∵，∴，

所以函数的图象不在函数的图象的上方，其中，

∵，∴在上单调递增，

又∵在上单调递增，且，，

∴的图象如图所示，

的图象恒过点，

∴由图象可知．