Question

已知数列{a_n}满足a₁=，S_n是{a_n}的前n项和，点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=x+的图象上，数列{b_n}中，b₁=1，且= （n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n-}是等比数列；
（2）分别求数列{a_n}和{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）若c_n=，T_n为数列{c_n}的前n项和，n∈N^*，求T_n并比较T_n与1的大小（只需写出结果，不要求证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=的图象上，知，故，由此能够证明数列{}是等比数列．
（2）由，得，由，知，，．由此能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式a_n和b_n．
（3）==n•，，由错位相减法求得T_n=2-，由此能够比较比较T_n与1的大小．
解答：解：（1）∵点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=的图象上
∴，
即，
，
即，
∴，
∴数列{}是等比数列．
（2）由（1）知，，
得，
∵，
∴，，，…，，
∴，
即=（n≥2）．
又∵b₁=1，∴．
（3）==n•，
，①
，②
①-②得：，
，
，
T_n=2-，
，
n=1时，T_n-1＜0，即T_n＜1，
n=2时，T_n-1=0，即T_n=1，
n≥3时，T_n-1＞0，即T_n＞1．
点评：本题考查等比数列的证明、数列通项公式的求法和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的递推式的灵活应用．