Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}，x∈[-1，-\frac{1}{2}）\\-\frac{5}{2}，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）\\ x-\frac{1}{x}，x∈[\frac{1}{2}，1）\end{array}$．
（1）求f（x）的值域；
（2）设函数g（x）=ax-3，x∈[-1，1]，若对于任意x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的解析式即可求出函数的值域，
（2）分类讨论，根据函数的值域和g（x）的单调性即可求出a的范围．

解答 解：（1）当$x∈[-1，-\frac{1}{2}]$时，由定义易证函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$在$[-1，-\frac{1}{2}]$上是减函数，此时$f（x）∈（-\frac{5}{2}，-2]$；
当$x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$时，$f（x）=-\frac{5}{2}$；当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，$f（x）=x-\frac{1}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上是增函数，
此时$f（x）∈[-\frac{3}{2}，0]$．
∴f（x）的值域为$[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]$．
（2）①若a=0，g（x）=-3，对于任意x₁∈[-1，1]，$f（{x_1}）∈[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]$，
不存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立．
②若a＞0，g（x）=ax-3在[-1，1]上是增函数，g（x）∈[-a-3，a-3]，
任给x₁∈[-1，1]，$f（{x_1}）∈[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]$，
若存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
则$[-\frac{5}{2}，-2]∪[-\frac{3}{2}，0]⊆[-a-3，a-3]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-a-3≤-\frac{5}{2}\\ a-3≥0\end{array}\right.$，
∴a≥3．
③若a＜0，g（x）=ax-3在[-1，1]上是减函数，g（x）∈[a-3，-a-3]，若存在x₀∈[-1，1]，使g（x₀）=f（x₁）成立，
则$[-\frac{5}{2}，-2）∪[-\frac{3}{2}，0]⊆[a-3，-a-3]$．
∴$\left\{\begin{array}{l}a-3≤-\frac{5}{2}\\-a-3≥0\end{array}\right.$，
∴a≤-3．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，以及利用数形结合的数学思想方法进行解题，涉及了分类讨论求值域问题．属于中档题．