题目内容
某地有A、B、C、D四人先后感染了一种病毒，已知A是第一个感染者，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
，同样也假定D受A、B和C感染的概率都是
在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X、直接受B感染的人数Y、直接受C感染的人数Z是三个随机变量．
（1）分别写出X、Y、Z的分布列；
（2）求EX+EY+EZ的值．
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| 3 |
（1）分别写出X、Y、Z的分布列；
（2）求EX+EY+EZ的值．
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，所以X=1，2，3设B、C、D直接受A感染为事件B、C、D，则B、C、D是相互独立的，并且P（B）=1，P（C）=
，P（D）=
，由此能求出X、Y、Z的分布列．
（2）由X、Y、Z的分布列，能求出EX+EY+EZ的值．
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| 2 |
| 1 |
| 3 |
（2）由X、Y、Z的分布列，能求出EX+EY+EZ的值．
解答：
解：（1）因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，
所以X=1，2，3
设B、C、D直接受A感染为事件B、C、D，
则B、C、D是相互独立的，
并且P（B）=1，P（C）=
，P（D）=
，
X=1，表明除了B外，C、D都不是由A感染的，
∴P（X=1）=P（
）=P（
）P（
）=
×
=
，（2分）
X=2，表明除了B外，C、D二人中恰有1人是由A感染的，
∴P（X=2）=P（C
+
D）=P（C）=P（
）+P（
）P（D）=
×
+
×
=
，（4分）
X=3，表明B、C、D都是由A感染的，
∴P（X=3）=P（CD）=P（C）P（D）=
×
=
，（5分）
∴X的分布列为：
…（6分）
同理，Y的分布列为：
…（8分）
Z的分布列为：
…（10分）
（2）EX=1×
+2×
+3×
=
，（11分）
EY=0×
+1×
+2×
=
，
EZ=0×
+1×
=
，
∴EX+EY+EZ=
+
+
=3．（12分）
所以X=1，2，3
设B、C、D直接受A感染为事件B、C、D，
则B、C、D是相互独立的，
并且P（B）=1，P（C）=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
X=1，表明除了B外，C、D都不是由A感染的，
∴P（X=1）=P（
. |
| CD |
. |
| C |
. |
| D |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
X=2，表明除了B外，C、D二人中恰有1人是由A感染的，
∴P（X=2）=P（C
. |
| D |
. |
| C |
. |
| D |
. |
| C |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
X=3，表明B、C、D都是由A感染的，
∴P（X=3）=P（CD）=P（C）P（D）=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
∴X的分布列为：
| X | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
同理，Y的分布列为：
| Y | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
Z的分布列为：
| Z | 0 | 1 | ||||
| P |
|
|
（2）EX=1×
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 11 |
| 6 |
EY=0×
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
EZ=0×
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴EX+EY+EZ=
| 11 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．
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