Question

抛物线y²=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且AF⊥BF，弦AB中点M在准线l上的射影为M′，则

|MM′|

|AB|

的最大值为（　　）

• A、2

  2

• B、

  2

• C、

  2 2

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件，结合抛物线定义，得到|MM′|=

a+b

2

，再由余弦定理和均值定理求出|AB|≥

2

2

（a+b）．由此能求出

|MM′|

|AB|

的最大值．

解答： 解：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，知：2|MM′|=a+b，即|MM′|=

a+b

2

，
∵AF⊥BF，
∴由余弦定理，得：
|AB|²=a²+b²-2abcos90°=（a+b）²-2ab，
∵a+b≥2

ab

，
∴2ab≤

(a+b)2

2

，
∴|AB|²=（a+b）²-2ab≥

(a+b)2

2

，
∴|AB|≥

2

2

（a+b）．
∴

|MM′|

|AB|

的最大值=

a+b 2

2 2 (a+b)

=

2

2

．
故选：D．

点评：本题考查两条线段比值的最大值的求法，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质，注意余弦定理和均值定理的合理运用．