Question

10．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=-n+t，数列{b_n}的通项公式为b_n=3^n-3，设c_n=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$+$\frac{|{a}_{n}-{b}_{n}|}{2}$，在数列{c_n}中，c_n≥c₃（n∈N*），则实数t的取值范围是$\frac{10}{3}$＜t＜5．

Answer 1

分析 求出c₃是c_n中的最小值，再分类讨论，即可求出实数t的取值范围．

解答 解：c_n=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}$+$\frac{|{a}_{n}-{b}_{n}|}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≥{b}_{n}}\\{{b}_{n}，{a}_{n}＜{b}_{n}}\end{array}\right.$．
∵a_n=-n+t随着n变大而变小，
b_n=3^n-3随着n变大而变大，
∵c_n≥c₃（n∈N*），
∴c₃是c_n中的最小值．
则n=1，2，3时，c_n递增，n=3，4，5，…时，c_n递减，
因此，n=1，2时，3^n-3＜-n+t总成立，
当n=2时，$\frac{1}{3}$＜-2+t，∴t＞$\frac{7}{3}$，
n=4，5，…时，3^n-3＞-n+t总成立，
当n=4时，3＞-4+t，成立，∴t＜7，
而c₃=a₃或c₃=b₃，
若a₃≤b₃，即1≥-3+t，所以t≤4，
则c₃=a₃=-3+t，
∴-3+t＞$\frac{1}{3}$，∴t＞$\frac{10}{3}$，
故$\frac{10}{3}$＜t≤4，
若a₃＞b₃，即t＞4，
∴c₃=b₃=1，
那么c₃＞c₄=a₄，即1＞-4+t，
∴t＜5，
故4＜t＜5，
综上，$\frac{10}{3}$＜t＜5．
故答案为$\frac{10}{3}$＜t＜5．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．