Question

10．已知a＞0，若函数f（x）=sinx•lg（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）为偶函数，则a=1．

Answer 1

分析 令f（-x）=f（x）由此方程解出a．

解答 解：∵函数f（x）=sinx•lg（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
∴-sinx•lg（-x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）=sinx•lg（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）恒成立，
∴lg（$\frac{1}{-x+\sqrt{a+{x}^{2}}}$）=lg（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）恒成立，即（-x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）=1，
∴a+x²-x²=1，∴a=1．
故答案为1．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．