Question

3．已知数列{a_n}的每一项均为正数，a₁=1，a²_n+1=a_n²+1（n=1，2…），试归纳成数列{a_n}的一个通项公式为a_n=$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 由a₁=2，a_n+1²=a_n²+1，即a_n+1²-a_n²=1，可得数列{${{a}_{n}}^{2}$}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出结论．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1²=a_n²+1，即a_n+1²-a_n²=1，
∴数列{${{a}_{n}}^{2}$}是等差数列，公差为1，首项为1．
∴${{a}_{n}}^{2}=1+（n-1）×1=n$，a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{n}$．
故答案为：a_n=$\sqrt{n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．