Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足6S_n=9a_n-1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且在x=$\frac{π}{6}$处取得最大值，最大值为a₃，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$化简6S_n=9a_n-1，得到数列的递推公式后，由等比数列的定义判断出数列{a_n}是等比数列，由等比数列的通项公式求出a_n；
（Ⅱ）由周期公式求出ω，由（1）求出最大值即可求出A，由正弦函数的最大值列出方程，由特殊角的三角函数值和φ的范围求出φ，可得f（x）的解析式．

解答 解：（I）由题意得6S_n=9a_n-1，
当n=1时，6S₁=9a₁-1，解得a₁=$\frac{1}{3}$，
当n≥2时，由6S_n=9a_n-1 得，6S_n-1=9a_n-1-1，
两式相减得，6a_n=9a_n-9a_n-1，即a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是以3为公比，$\frac{1}{3}$为首项的等比数列，
所以${a}_{n}=\frac{1}{3}×{3}^{n-1}={3}^{n-2}$；…（6分）
（II）∵f（x） 的周期为$\pi$，∴ω=2，
由（I）知a₃=3，即最大值为3，所以 A=3，
∵f（x） 在$x=\frac{π}{6}$ 处取得最大值，∴$sin（{2×\frac{π}{6}+φ}）=1$，
则φ+$\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，得φ=$\frac{π}{6}+2kπ（k∈Z）$，
∵$0＜φ＜\pi$，∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴函数f（x） 的解析式为$f（x）=3sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．…（12分）

点评 本题考查了数列前n项和与通项之间的关系式：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，等比数列的定义、前n项和公式，以及正弦函数的解析式与性质，考查化简、变形能力，属于中档题．