Question

14．已知函数y=2acos（2x-$\frac{π}{3}$）+b的定义域是[0，$\frac{π}{2}$]，值域是[-5，1]，求a、b的值．

Answer 1

分析 由$x∈[0，\frac{π}{2}]$求出$2x-\frac{π}{3}$的范围，由余弦函数的性质求出cos（2x-$\frac{π}{3}$）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．

解答 解：由$x∈[0，\frac{π}{2}]$得，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）$∈[-\frac{1}{2}，1]$，
当a＞0时，∵函数的值域是[-5，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a×1+b=1}\\{2a×（-\frac{1}{2}）+b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
当a＜0时，∵函数的值域是[-5，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a×1+b=-5}\\{2a×（-\frac{1}{2}）+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
综上可得，$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了余弦函数的定义域和值域，以及分类讨论思想，属于中档题．