Question

14．一个不透明的袋子中装有大小相同的12个黑球，4个白球，每次有放回的任意摸取一个球，共摸取3次，若用X表示取到白球的次数，则X的数学期望E（X）与方差D（X）分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 由题意知X的可能取值为0，1，2，3，摸到白球的概率为$\frac{1}{4}$，
计算对应的概率值，写出X的概率分布列，计算数学期望E（X）与方差为D（X）．

解答 解：由题意，X的可能取值为0，1，2，3，摸到白球的概率为$\frac{1}{4}$，
则P（X=0）=${（\frac{3}{4}）}^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•$\frac{3}{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$；
∴X的概率分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴数学期望为E（X）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$或E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$；
方差为D（X）=$\frac{27}{64}$×${（0-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{27}{64}$×${（1-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{64}$×${（2-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{64}$×${（3-\frac{3}{4}）}^{2}$=$\frac{9}{16}$；
或D（X）=3×$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及方差的计算问题，是基础题．