Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求a_n与b_n；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设{a_n}的公差为d，由b₂+S₂=12，b₁=1，q=

S2

b2

，可求得q=3，d=3，从而可得a_n与b_n；
（2）由（1）知，a_n=3n，于是可得S_n=

3n(n+1)

2

，

1

Sn

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），通过列项相消法即可求得答案．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，
∵b₂+S₂=12，b₁=1，q=

S2

b2

，
∴

q+6+d=12 q2=6+d

，解得q=3或q=-4（舍），d=3．
故a_n=3n，b_n=3^n-1…（4分）
（2）S_n=

n(3+3n)

2

=

3n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

3n(n+1)

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

2

3

（1-

1

n+1

）…（8分）
∵n≥1，∴0＜

1

n+1

≤

1

2

，

1

2

≤1-

1

n+1

＜1，
∴

1

3

≤

2

3

（1-

1

n+1

）＜

2

3

，
即

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

 …（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式与列项相消法求和的综合应用，属于中档题．