Question

已知函数f（x）=2sin（3x+φ）+m（φ∈R），且对于任意的x∈R都有f（

π

2

+x）+f（-x）=2成立，若tan（π-φ）=n，则m+n的值为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由函数解析式求出f（

π

2

+x）和f（-x），代入f（

π

2

+x）+f（-x）=2整理，再由对于任意的x∈R都有
f（

π

2

+x）+f（-x）=2成立确定φ和m的值，进一步求得n的值，则答案可求．

解答： 解：∵f（x）=2sin（3x+φ）+m．
∴f(

π

2

+x)=2sin[3(

π

2

+x)+φ]+m
=2sin[

3π

2

+(3x+φ)]+m=-2cos（3x+φ）+m．
f（-x）=2sin[-（3x-φ）]+m=-2sin（3x-φ）+m
由f（

π

2

+x）+f（-x）=2⇒-2[sin（3x-φ）+cos（3x+φ）]+2m=2
⇒sin（3x-φ）+cos（3x+φ）=m-1
⇒sin3xcosφ-cos3xsinφ+cos3xcosφ-sin3xsinφ=m-1
⇒（cosφ-sinφ）（sin3x+cos3x）=m-1
∵上式对?x∈R都成立，∴只有cosφ-sinφ=0，m-1=0．即tanφ=1，m=1．
又∵tan（π-φ）=-tanφ=n，∴n=-1．
∴m+n=0．
故答案为：0．

点评：本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，训练了由恒成立问题确定参数的值，考查了计算能力，是中档题．