Question

20．△ABC中，O是BC的中点，|BC|=3$\sqrt{2}$，其周长为6+3$\sqrt{2}$，若点T在线段AO上，且|AT|=2|TO|．
（Ⅰ）建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若M，N是射线OC上不同的两点，|OM|•|ON|=1，过点M的直线与E交于P，Q，直线QN与E交于另一点R，证明：△MPR是等腰三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以BC所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用椭圆的定义，求点T的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线QM的方程，与椭圆方法联立，消去y，得（m²+1-2mx₁）x²-2m（1-x₁²）x+（2mx₁-x₁²-m²x₁²）=0，利用韦达定理，证明PR⊥x轴，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）以BC所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则|AB|+|AC|=6＞|BC|，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
∴2a=6，2c=3$\sqrt{2}$，
∴a=3，c=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴b²=a²-c²=$\frac{9}{2}$；
∴点A的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}$=1（y≠0）；
设T（x，y），点T在线段AO上，且|AT|=2|TO|，
∴A（3x，3y），代入为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}$=1，
整理可得点T的轨迹E的方程是：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1（y≠0）；
（Ⅱ）根据题意，设M（m，0），（m＞0），由|OM|•|ON|=1，
得N（$\frac{1}{m}$，0）；Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），R（x₃，y₃），
由题意，直线QM不与坐标轴平行，k_QM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$，直线QM的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$（x-m）
与椭圆方法联立，消去y，得（m²+1-2mx₁）x²-2m（1-x₁²）x+（2mx₁-x₁²-m²x₁²）=0；
∴x₁x₂=$\frac{2m{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-{m}^{2}{{x}_{1}}^{2}}{{m}^{2}+1-2m{x}_{1}}$，
同理x₁x₃=$\frac{2m{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-{m}^{2}{{x}_{1}}^{2}}{{m}^{2}+1-2m{x}_{1}}$=x₁x₂，
∴x₂=x₃，或x₁=0．
x₂=x₃，PR⊥x轴，
x₁=0，x₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，x₃=$\frac{2•\frac{1}{m}}{（\frac{1}{m}）^{2}+1}$=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=x₂．PR⊥x轴，
∴|MP|=|MR|，
∴△MPR是等腰三角形．

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查韦达定理的运用，属于中档题．