Question

9．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）

• A． f（x）=x³
• B． f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$
• C． f（x）=3^x
• D． f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x

Answer 1

分析 可先设f（x）为指数函数，并给出证明，再根据指数函数单调性的要求，得出C选项符合题意．

解答 解：指数函数满足条件“f（x+y）=f（x）f（y）”，验证如下：
设f（x）=a^x，则f（x+y）=a^x+y，
而f（x）f（y）=a^x•a^y=a^x+y，
所以，f（x+y）=f（x）f（y），
再根据题意，要使f（x）单调递增，只需满足a＞1即可，
参考各选项可知，f（x）=3^x，即为指数函数，又为增函数，
故选：C．

点评 本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及同底指数幂的运算性质，属于基础题．