题目内容

12．均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是$\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$．

分析 x+3y=4xy，x＞0，y＞0，可得$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$=4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：x+3y=4xy，x＞0，y＞0，∴$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$=4．
则x+y=$\frac{1}{4}$$（\frac{3}{x}+\frac{1}{y}）$（x+y）=$\frac{1}{4}（4+\frac{3y}{x}+\frac{x}{y}）$≥$\frac{1}{4}（4+2\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{x}{y}}）$=$\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$，当且仅当x=$\sqrt{3}$y=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$时取等号．
故答案为：$\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与就你死了，属于基础题．

练习册系列答案
相关题目
2．下列说法中正确的个数是（　　）
（1）“m为实数”是“m为有理数”的充分不必要条件；
（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；
（3）“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件；
（4）“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件；
（5）“α=kπ+$\frac{5}{12}$π，k∈Z”是“sin2α=$\frac{1}{2}$”的充要条件．
A．0B．2C．1D．3
3．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为$\frac{77}{8}$．
20．△ABC中，O是BC的中点，|BC|=3$\sqrt{2}$，其周长为6+3$\sqrt{2}$，若点T在线段AO上，且|AT|=2|TO|．
（Ⅰ）建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若M，N是射线OC上不同的两点，|OM|•|ON|=1，过点M的直线与E交于P，Q，直线QN与E交于另一点R，证明：△MPR是等腰三角形．
7．2${\;}^{\frac{1}{2}+lo{g}_{2}9}$的值是（　　）
A．12$\sqrt{2}$B．9+$\sqrt{2}$C．9$\sqrt{2}$D．8+$\sqrt{2}$
17．“双曲线渐近线方程为y=±2x”是“双曲线方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=λ（λ为常数且λ≠0）”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数f（x）=x2-4x+3的最小值是（　　）
A．3B．0C．-1D．-2
1．现有如下四个命题：
①若动点P与定点A（-4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值$\frac{4}{9}$，则动点P的轨迹为双曲线的一部分
②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2-（m-n）2，若x≥0，则动点$P（x，\sqrt{x*a}）$的轨迹是抛物线的一部分
③已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x-1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
④已知A（7，0），B（-7，0），C（2，-12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
上述四个命题中真命题为①②③．（请写出其序号）
2．不等式log2（x+6）＜log2（2-x）的解集为（-6，-2）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网