题目内容
过双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若
=2
，则双曲线的离心率是（ ）
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| CA |
| AB |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点：双曲线的简单性质
专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出直线AB的方程，联立双曲线的渐近线方程，解得交点B，C，再由向量的坐标和向量共线的坐标表示，即可得到a=3b，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．
解答：
解：双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的上顶点A为（0，a），
直线AB：y=x+a，
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=
x，
可得交点C（
，
），
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=-
x，
可得交点B（-
，
）．
由
=2
，可得
（
，
）=2（
，
），
即有
=-
，
即2b-2a=-a-b，
即a=3b，
则c=
=
=
a，
则e=
=
．
故选：D．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
直线AB：y=x+a，
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=
| a |
| b |
可得交点C（
| ab |
| a-b |
| a2 |
| a-b |
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=-
| a |
| b |
可得交点B（-
| ab |
| a+b |
| a2 |
| a+b |
由
| CA |
| AB |
（
| ab |
| b-a |
| ab |
| b-a |
| -ab |
| a+b |
| -ab |
| a+b |
即有
| ab |
| b-a |
| 2ab |
| a+b |
即2b-2a=-a-b，
即a=3b，
则c=
| a2+b2 |
a2+
|
| ||
| 3 |
则e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
故选：D．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，及离心率的求法，同时考查向量共线定理的运用，联立直线方程求得交点B，C是解题的关键．
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冲刺100分1号卷系列答案
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