Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）如果曲线在点处的切线的斜率是，求的值；

（Ⅱ）当，时，求证：；

（Ⅲ）若存在单调递增区间，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由即可解出；（Ⅱ）对进行二次求导，通过二次求导所得导函数恒正，得到单调递增；根据零点存在定理可知在上，存在零点；根据导函数符号得到单调性，从而确定最大值为，则结论可证；（III）将问题转化为存在，使得，通过分离变量将问题转化为与最值的比较；在时求的最小值；时求的最大值，由于最值点无法取得，结合洛必达法则求得极限值；从而可得的取值范围.

（Ⅰ）由题意知：

则，即

（Ⅱ）当时， img src="https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/08/15/08/7528bcf4/SYS201908150803096317375479_DA/SYS201908150803096317375479_DA.019.png" width="125" height="23" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

令

因此恒成立

当时，单调递增

又，

存在唯一的，使得

列表如下：

			极小值

当时，

当，时，

（Ⅲ）由题意可知，存在，使得

当时，，不合题意；

当时，

令，则

当时，，则单调递减；时，，则单调递增

可得时，函数取得极小值即最小值

当时，

当时，，则单调递减.

又时，

.

综上可得：