Question

【题目】如图，四棱锥，底面是边长为2的菱形， ，且平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若平面与平面的夹角为，试求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）线段的长为.

【解析】试题分析：（1）由已知结合线面垂直的性质可得BD⊥PA，再由四边形ABCD是菱形，得BD⊥AC，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面PBD；
（2）取DC的中点E，由已知可得AE⊥CD，分别以AE、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=m（m>0）．求出A、P、C、D的坐标，得到平面PCD与平面PAB的法向量，由两法向量所成角的余弦值列式求得线段PA的长．

试题解析：

（Ⅰ）证明： 平面 ，

四边形是菱形，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）取的中点，由题易证，分别以为轴，

建立空间直角坐标系 (如图)，

设．

所以

设平面的法向量为,根据，

得，

令，则．

平面的法向量可取，

由题， ，解得，

所以线段的长为．