Question

【题目】已知点P(x，y)在△ABC的边界和内部运动，其中A(1，0)，B(2，1)，C(4，4).若z=2x-y的最小值为M，最大值为N.

（1）求M，N；

（2）若m+n=M，m>0，n>0，求的最小值，并求此时的m，n的值；

（3）若m+n+mn=N，m>0，n>0，求mn的最大值和m+n的最小值.

Answer 1

【答案】（1），（2），；最小值（3）mn的最大值为；m+n最小值为

【解析】

（1）利用线性规划知识求得最值；

（2）结合（1）根据，利用基本不等式求最值及最值取得的条件；

（3）结合（1）可得和利用换元法求解最值.

（1）由题意，作出图形

知当直线经过点时，z有最小值2，当直线经过点时，z有最大值4.所以，.

（2）由（1），知，

所以，

当且仅当时等号成立.

又，所以，.

（3）由（1），知.

因为当且仅当时等号成立，

所以.

令，则，解得.

又，故，

故mn的最大值为.

因为，

所以，

令，则，

解得或舍去，

即的最小值为.