Question

12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax²+bx+c总有两个不同的零点，则$\frac{a+b-c}{a}$的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\frac{7}{4}}]$
• B． （1，2]
• C． [1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得△=b²-4ac＞0，于是c＜$\frac{{b}^{2}}{4a}$，从而$\frac{a+b-c}{a}$＞$\frac{a+b-\frac{{b}^{2}}{4a}}{a}$=1+$\frac{b}{a}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{b}{a}$）²，运用换元法和二次函数的最值的求法，结合恒成立问题的解法，即可得到所求范围．

解答 解：由满足0＜b＜3a的任意实数a，b，
函数f（x）=ax²+bx+c总有两个不同的零点，
可得△=b²-4ac＞0，
于是c＜$\frac{{b}^{2}}{4a}$，
从而$\frac{a+b-c}{a}$＞$\frac{a+b-\frac{{b}^{2}}{4a}}{a}$=1+$\frac{b}{a}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{b}{a}$）²，
对任意满足0＜b＜3a的任意实数a，b恒成立．
令t=$\frac{b}{a}$，由0＜b＜3a，可得0＜t＜3，
则-$\frac{1}{4}$t²+t+1=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+2，
当t=2时，取得最大值2，
则-$\frac{1}{4}$t²+t+1∈（1，2]．
故$\frac{a+b-c}{a}$＞2．
故选：D．

点评 本题考查函数零点问题的解法，考查恒成立问题的解法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，属于中档题．