Question

20．函数f（x）在[a，b]上有意义，若对任意x₁、x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）=$\frac{1}{x}$在[1，3]上具有性质P；
②若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）不可能为一次函数；
③若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．
其中真命题的序号为①③④．

Answer 1

分析 根据f（x）在[a，b]上具有性质P的定义，结合函数凸凹性的性质，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：①f（x）=$\frac{1}{x}$在[1，3]上为减函数，则由图象可知对任意x₁，x₂∈[1，3]，有ff（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立，故①正确：
②不妨设f（x）=x，则对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故②不正确，
③在[1，3]上，
f（2）=f[$\frac{x+4-x}{2}$]≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
∵F（x）在x=2时取得最大值1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=1，即对任意的x∈[1，3]，有f（x）=1，故③正确；
∵对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₃）+f（x₄）]，
∴f（$\frac{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$））≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．故④正确；
故答案为：①③④

点评 本题是一道新定义题，实质上是考查函数的凹凸性及应用，解题的关键是理解这一性质，灵活运用这一性质，可通过举反例，以及利用数形结合是解决本题的关键．