Question

7．设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁a₃=64，a₂+a₅=72．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2））设${b_n}=\frac{1}{{n{{log}_2}{a_n}}}$，S_n是数列{b_n}的前n项和，不等式S_n＞log_a（a-2）对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{n{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法可得S_n=$\frac{n}{n+1}$．数列{S_n}单调递增，因此（S_n）_min=$\frac{1}{2}$．不等式S_n＞log_a（a-2）对任意正整数n恒成立，只需log_a（a-2）＜$\frac{1}{2}$，利用对数函数的单调性即可得出．

解答 （1）解：各项均为正数的等比数列{a_n}中，即q＞0
∵a₁a₃=$\frac{{a}_{2}}{q}$×a₂q=a₂²=64，∴a₂=8
∵a₂+a₅=72．∴a₅=64，即a₂q³=64
∴q=2
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{8}{2}$=4
∴数列{a_n}的是首项为2，公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹．
（2）解：b_n=$\frac{1}{{n{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴数列{S_n}单调递增，因此（S_n）_min=$\frac{1}{2}$．
不等式S_n＞log_a（a-2）对任意正整数n恒成立，
只需log_a（a-2）＜$\frac{1}{2}$，
由a-2＞0得：a＞2，∴$a-2＜{a}^{\frac{1}{2}}$，a²-5a+4＜0，解得：1＜a＜4，
又a＞2，
∴实数a的取值范围是（2，4）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．