Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90゜，∠BAD=120゜，AD=AB=a，若PA=λa（λ＞0）．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）当λ为何值时，点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心？

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，AC交于点O，由AB=AD，AC=AC，∠ADC=∠ABC=90°，推断出△ABC≌△ADC，进而可知∠BAC=∠CAD，求得∠BAC，又AB=AD，∠BAD=120゜，则∠ABD可求，进而求得∠BOA=90°，即AC⊥BD，根据线面垂直的性质推断出PA⊥BD，进而利用线面垂直的判定定理推断出BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，推断出平面PBD⊥平面PAC．
（2）连结PO，由A向PO作垂线，垂足为E，由于BO=OD，推断出△PBD的重心必在OP上，假设E为△PBD的重心，PA²=PG•PO=

2

3

PO²，
求得AO，进而利用勾股定理建立等式PO²=（λa）²+

a2

4

，求得λ．

解答： （1）证明：连结BD，AC交于点O，
∵AB=AD，AC=AC，∠ADC=∠ABC=90°，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠BAD=120゜，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AD，∠BAD=120゜，
∴∠ABD=30°，
∴∠BOA=180°-30°-60°=90°，即AC⊥BD，
∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）连结PO，由A向PO作垂线，垂足为E，
∵BO=OD，
∴△PBD的重心必在OP上，假设E为△PBD的重心，
则PA²=PG•PO=

2

3

PO²，
AO=

1

2

AB=

a

2

，
∴PO²=（λa）²+

a2

4

，
∴

2

3

[（λa）²+

a2

4

=（λa）²，求得λ=

2

2

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．在立体几何的解题过程中，作辅助线是较为关键的一步．