Question

4．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=$\frac{π}{4}$，设CF=x，AE=y．
（1）试用解析式将y表示成x的函数；
（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）由∠EOF=$\frac{π}{4}$，可得∠COF+∠AOE=$\frac{π}{4}$，则tan（∠COF+∠AOE）=$\frac{\frac{x}{4}+\frac{y}{5}}{1-\frac{xy}{20}}$=1，化简可得函数的解析式，由0≤y≤4求得x的范围；
（2）三角形池塘OEF面积S=S_矩形OABC-S_△AOE-S_△COF-S_△BEF，运用三角形的面积公式，设t=x+4，求得S的表达式，运用基本不等式可得最小值和x的值．

解答 解：（1）由∠EOF=$\frac{π}{4}$，可得∠COF+∠AOE=$\frac{π}{4}$，
即有tan∠COF=$\frac{x}{4}$，tan∠AOE=$\frac{y}{5}$，
则tan（∠COF+∠AOE）=$\frac{\frac{x}{4}+\frac{y}{5}}{1-\frac{xy}{20}}$=1，
即有y=$\frac{5（4-x）}{4+x}$，由y≤4，解得x≥$\frac{4}{9}$，
则函数的解析式为y=$\frac{5（4-x）}{4+x}$，（$\frac{4}{9}$≤x≤4）；
（2）三角形池塘OEF面积S=S_矩形OABC-S_△AOE-S_△COF-S_△BEF
=4×5-$\frac{1}{2}$×5y-$\frac{1}{2}$×4x-$\frac{1}{2}$×（4-y）（5-x）
=20-$\frac{1}{2}$•$\frac{25（4-x）}{4+x}$-2x-$\frac{1}{2}$（5-x）•$\frac{9x-4}{x+4}$
=20+$\frac{5{x}^{2}-40x-80}{2（x+4）}$（$\frac{4}{9}$≤x≤4），
令t=x+4（$\frac{40}{9}$≤t≤8），
即有S=20+$\frac{1}{2}$（5t+$\frac{160}{t}$-80）
≥20+$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5t•\frac{160}{t}}$-80）=20$\sqrt{2}$-20．
当且仅当5t=$\frac{160}{t}$即t=4$\sqrt{2}$，此时x=4$\sqrt{2}$-4，
△OEF的面积取得最小值，且为20$\sqrt{2}$-20．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用两角和的正切公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用间接法求面积，再由换元法和基本不等式，属于中档题．