Question

已知函数，．
（1）若的极大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x₀，使f（x₀+k）= f（x₀)+ f（k）(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”. 设，若关于实数a 可线性分解，求取值范围.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用导数求出极值，令极值为，解方程得b的值，先对求导，利用“为递增函数，为递减函数”判断函数单调性，利用单调性判断极大值为；第二问，将“对任意，都有恒成立”转化为“”，令，利用导数求的最小值；第三问，先利用已知得到的解析式，代入到已知的f（x₀+k）= f（x₀)+ f（k）中，得到方程，根据函数定义域，得.
（1）由，得，
令，得或．                    2分
当变化时，及的变化如下表：

	-		+		-
	↘	极小值	↗	极大值	↘

 
所以的极大值为=，
．                            4分
（2）由，得．
，且等号不能同时取，
，即 
恒成立，即              6分
令，求导得，，
当时，，从而，
在上为增函数，
，
．                         9分
（3）证明：
由已知，存在，使关于实数a 可线性分解，则，
即：     10分
，                   12分
 
因为 所以                    14分