题目内容

设函数.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若,当时,在区间内存在极值,求整数的值.
(1)详见解析;(2).

试题分析:(1)此问为导数的基础题型,先求,令,求极值点,然后解,列出的变化表格,从而很容易确定单调区间,以及极值;
(2)代入得到,先求,从无法确定函数的极值点,所以求其二阶导数,令,   ,当时,恒成立,为单调递减函数,那么的值为极值点,因为是正整数,所以从开始判定符号,,,即为极值点的区间.
(1),解得
根据的变化情况列出表格:

(0,1)
1


+
0
_

递增
极大值
递减
 
由上表可知函数的单调增区间为(0,1),递减区间为
处取得极大值,无极小值..            5分
(2),,
,   
因为恒成立,所以为单调递减函数,
因为
所以在区间上有零点 ,且函数在区间上单调性相反,
因此,当时,在区间内存在极值.所以. 12分
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