题目内容
设函数.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若,当时,在区间内存在极值,求整数的值.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若,当时,在区间内存在极值,求整数的值.
(1)详见解析;(2).
试题分析:(1)此问为导数的基础题型,先求,令,求极值点,然后解与,列出的变化表格,从而很容易确定单调区间,以及极值;
(2)代入得到,先求,从无法确定函数的极值点,所以求其二阶导数,令, ,当时,恒成立,在为单调递减函数,那么的值为极值点,因为是正整数,所以从开始判定符号,,,即为极值点的区间.
(1)令,解得,
根据的变化情况列出表格:
(0,1) | 1 | ||
+ | 0 | _ | |
递增 | 极大值 | 递减 |
由上表可知函数的单调增区间为(0,1),递减区间为,
在处取得极大值,无极小值.. 5分
(2),,
令, ,
因为恒成立,所以在为单调递减函数,
因为
所以在区间上有零点 ,且函数在区间和上单调性相反,
因此,当时,在区间内存在极值.所以. 12分
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