题目内容

如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有
 
．（填上所有正确命题的序号） 
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④异面直线PM与BD所成的角为45°．
考点：命题的真假判断与应用,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离
分析：利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．
解答： 解：在四面体ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ?平面ACD，MN?平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°．
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴
PN
BD
=
AN
AD
，
MN
AC
=
DN
AD
，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．
综上可知：①③④都正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
若数列{an}的前n项和Sn=2n．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=nan．求{bn}的前10项和．
如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是
 
．
给出下列三个命题：
①函数y=
1
2
ln
1-cosx
1+cosx
与y=lntan
x
2
是同一函数．
②已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（x≤2）=0.72，则P（x≤0）=0.28．
③如图，在△ABC中，
AN
=
1
3
NC
，P是BN上的一点，若
AP
=m
AB
+
2
11
AC
，则实数m的值为
3
11
．
其中真命题是
 
．（写出所有真命题的序号）
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点M是BC1的中点，P是BB1一动点，则（AP+MP）2的最小值为
 
．
已知每生产100克洗衣粉的原料和加工费为1.8元，某洗衣粉厂采用两种包装，其包装费及售价如下表所示，则下列说法中：
型号小包装大包装
重量100克300克
包装费0.5元0.7元
售价3.00元8.40元
①买小包装实惠；②卖小包装盈利多；③买大包装实惠；④卖1包大包装比卖3包小包装还要多盈利．所有正确的说法是
 
．
已知sinβ=
3
5
（
π
2
＜β＜π），且sin（α+β）=cosα，则sin2α+sinαcosα-2cos2α等于
 
．
已知函数f（x）=（
1
4
）x-
x
，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列5个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④c＜a；⑤a＞b．其中可能成立的个数为（　　）
A、4B、3C、2D、1
已知不等式x+3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是（　　）
A、a≥-3B、a＞-3
C、a≤-3D、a＜-3

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