Question

13．已知二次函数f（x）=ax²-bx+2（a＞0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；
（2）若b=2a+1，解关于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）由题意，ax²-bx+2＞0（a＞0）的解集为{x|x＞2或x＜1}，根据不等式与方程的关系有：x1=2，x2=1求解a，b．
（2）b=2a+1，那么：f（x）=ax²-（2a+1）x+2=（ax-2）（x-1）≤0．对a与1的大小比较近讨论，得解．

解答 解：（1）由题意，ax²-bx+2＞0（a＞0）的解集为{x|x＞2或x＜1}，根据不等式与方程的关系有：x₁=2，x₂=1，利用韦达定理：$\frac{b}{a}={x}_{1}+{x}_{2}=3$，$\frac{c}{a}={x}_{1}•{x}_{2}=2$，解得：a=1，b=3．
故当不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，a、b的值分别为1，3；
（2）当b=2a+1，那么：f（x）=ax²-（2a+1）x+2=（ax-1）（x-2）
f（x）≤0，即（ax-1）（x-2）≤0，
解得：x₁=$\frac{1}{a}$，x₂=2．
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，x₁＞x₂，不等式的解集为[$2，\frac{1}{a}$]
当a=$\frac{1}{2}$时，x₁=x₂，不等式的解集为{x|x=2}；
当a＞$\frac{1}{2}$时，x₁＜x₂，不等式的解集为[$\frac{1}{a}$，2]；
综上所述：当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，x₁＞x₂，不等式的解集为[$2，\frac{1}{a}$]
当a=$\frac{1}{2}$时，x₁=x₂，不等式的解集为{x|x=2}；
当a＞$\frac{1}{2}$时，x₁＜x₂，不等式的解集为[$\frac{1}{a}$，2]．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．