Question

6．已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a^x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p为真，则0＜a＜1．若q为真，则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4{a}^{2}-8a＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．由“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，可得命题p，q必然一真一假．

解答 解：若p为真，则0＜a＜1．
若q为真，则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4{a}^{2}-8a＜0}\end{array}\right.$，解得0≤a＜2．
∵“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，
∴命题p，q必然一真一假．
∴当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜0或a≥2}\end{array}\right.$，解得a∈∅．
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{0≤a＜2}\end{array}\right.$，解得1≤a＜2或a=0．
综上所述：实数a的取值范围为{a|1≤a＜2，或a=0}．

点评 本题考查了函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．