题目内容

已知lga+lgb=0，则满足不等式
a
a2+1
+
b
b2+1
≤λ的实数λ的最小值是
 
．
考点：对数的运算性质
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：由已知得到b=
1
a
，代入
a
a2+1
+
b
b2+1
后利用基本不等式求其最大值，则答案可求．
解答： 解：∵lga+lgb=0，
∴lgab=0，ab=1，则b=
1
a
，
∴
a
a2+1
+
b
b2+1
=
a
a2+1
+
1
a
1
a2
+1
=2•
a
a2+1

=2•
1
a+
1
a
≤2•
1
2
a•
1
a
=1．
∴则满足不等式
a
a2+1
+
b
b2+1
≤λ的实数λ的最小值是1．
故答案为：1．
点评：本题考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图1，在平面内，ABCD是AB=2，BC=
2
的矩形，△PAB是正三角形，将△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如图2，E为AB的中点，设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧．

（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）设二面角F-PB-D的大小为θ，若θ=
π
4
，求线段CF的长．
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
，（其中m为整数），则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上，给出下列关于函数f（x）=|{x}-x|的命题：
①函数f（x）的定义域是R，值域是[-
1
2
，
1
2
]；
②函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
③函数y=f（x）的图象关于原点对称；
④函数y=f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是增函数；
其中说法正确的是
 
．
已知函数f（x）=
4x，x≤1
-x，x＞1
，若f（-x）=2，则x=
 
．
已知f（x）=3-2|x|，g（x）=x2-2x，F（x）=
g(x)，当f(x)≥g(x)时
f(x)，当f(x)＜g(x)时
则F（x）的最大值是
 
．
若函数f（x）=-x2+ax-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是
 
．
若函数f（x）=log
1
2
（2-log2x）的值域是（-∞，0），则f（x）的定义域是
 
．
已知
a
⊥
b
，|
a
|=2，|
b
|=3，且
a
+2
b
与λ
a
-
b
垂直，则实数λ的值为
 
．
若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2，使得f（x1）f（x2）=1成立，则称此函数为“黄金函数”，给出下列三个命题：
①y=x是“黄金函数”；
②y=lnx是“黄金函数”；
③y=2x是“黄金函数”，
其中正确命题的序号是
 
．

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