Question

1．已知不等式kx²-2x+k-1≤0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 分k=0和k≠0分类求解，当k≠0时，需$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{（-2）^{2}-4k（k-1）≤0}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 解：当k=0时，原不等式化为-2x-1≤0，即x≥-$\frac{1}{2}$，不合题意；
当k≠0时，要使不等式kx²-2x+k-1≤0对一切实数x恒成立，则
$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{（-2）^{2}-4k（k-1）≤0}\end{array}\right.$，解得：k≤$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
综上，实数k的取值范围是（-∞，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]．

点评 本题考查恒成立问题的求解方法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．