Question

9．已知椭圆F的方程为3x²+2y²=6，F在y轴正半轴上的焦点为M，与x轴正半轴的交点为N，以点M为圆心的圆M经过点N．
（1）求圆M的方程；
（2）试判断点P（$\sqrt{3}$cosθ，1+$\sqrt{2}$tsinθ），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）与圆M的位置关系，并说明理由；
（3）若直线l经过点M且与椭圆F交于A、B两点，当$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MN}$=0时求△ABN的面积．

Answer 1

分析 （1）将椭圆方程化成一般式方程得出M，N的坐标，计算|MN|，从而得出园M的方程；
（2）计算|MP|²，讨论|MP|²与3的大小关系得出结论；
（3）根据AB⊥MN求出直线AB的方程，联立方程组消元，计算|AB|，则S_△ABN=$\frac{1}{2}|AB|•|MN|$．

解答 解：（1）椭圆F的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴M（0，1），N（$\sqrt{2}$，0），|MN|²=3，
∴圆M的方程为：x²+（y-1）²=3．
（2）|MP|²=3cos²θ+2t²sin²θ=3-3sin²θ+2t²sin²θ=3+（2t²-3）sinθ，
∵0$＜θ＜\frac{π}{2}$，∴sinθ＞0，
∴当2t²-3＞0即t＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$或t＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，|MP|²＞3，此时点P在圆M外部；
当2t²-3=0即t=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，|MP|²=3，此时点P在圆M上；
当2t²-3＜0即-$\frac{\sqrt{6}}{2}＜t＜\frac{\sqrt{6}}{2}$时，|MP|²＜3，此时点P在圆M内部．
（3）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MN}$=0，∴AB⊥MN，
∵k_MN=$\frac{1}{-\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_AB=$\sqrt{2}$．
∴直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x+1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得：7x²+4$\sqrt{2}$x-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，x₁x₂=-$\frac{4}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}|AB|•|MN|$=$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{3}}{7}×\sqrt{3}$=$\frac{18}{7}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，点与圆，直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．