Question

20．若不等式${x^2}-{log_m}^x＜0（m＞0$且m≠1）在（0，$\frac{1}{2}$）内恒成立，求实数 m 的取值范围（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，1）
• C． （$\frac{1}{16}$，1）
• D． [$\frac{1}{16}$，1）

Answer 1

分析 不等式${x^2}-{log_m}^x＜0（m＞0$且m≠1）在（0，$\frac{1}{2}$）内恒成立?${lo{g}_{m}}^{x}$＞x²在（0，$\frac{1}{2}$）内恒成立，利用对数函数的单调性可得${lo{g}_{m}}^{\frac{1}{2}}$≥${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，继而可求得实数 m 的取值范围．

解答 解：∵${x^2}-{log_m}^x＜0（m＞0$且m≠1）在（0，$\frac{1}{2}$）内恒成立，
∴${lo{g}_{m}}^{x}$＞x²在（0，$\frac{1}{2}$）内恒成立，∴0＜m＜1，
且${lo{g}_{m}}^{\frac{1}{2}}$≥${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴${m}^{\frac{1}{4}}$≥$\frac{1}{2}$，
∴m≥$\frac{1}{16}$，又0＜m＜1，
∴实数 m 的取值范围为[$\frac{1}{16}$，1）．
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查对数函数的单调性质的理解与应用，得到${lo{g}_{m}}^{\frac{1}{2}}$≥${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$是关键，属于中档题．