题目内容

15．一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，如表为抽样试验结果：
转速x（转/秒）1614128
每小时生产有
缺点的零件数y（件）		11985
（1）用相关系数r对变量y与x进行相关性检验；
（2）如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？（结果保留整数）
参考数据：$\sum_{i=1}^{4}$xiyi=438，t=m2-1，$\sum_{i=1}^{4}$yi2=291，$\sqrt{656.25}$≈25.62．
参考公式：相关系数计算公式：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}•\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

分析 （1）根据表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$与相关系数r的值，判断y与x有很强的线性相关关系；
（2）求出回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出线性回归方程；
（3）利用回归方程求出$\stackrel{∧}{y}$≤10的x值即可．

解答 解　（1）根据表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（16+14+12+8）=12.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（11+9+8+5）=8.25，
4$\overline{x}$$\overline{y}$=4×12.5×8.25=412.5，…（2分）
所以相关系数r=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{（{{\sum_{i=4}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}）（{{\sum_{i=1}^{4}y}_{i}}^{2}-{4\overline{y}}^{2}）}}$
=$\frac{438-412.5}{\sqrt{（660-625）×（291-272.25）}}$
=$\frac{25.5}{\sqrt{656.25}}$
≈$\frac{25.5}{25.62}$
≈0.995；…（4分）
因为r＞0.75，所以y与x有很强的线性相关关系；          …（5分）
（2）回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$≈0.7286，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5，
∴所求线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.728 6x-0.857 5．…（9分）
（3）要使$\stackrel{∧}{y}$≤10，即0.728 6x-0.857 5≤10，
解得x≤14.901 9≈15．
所以机器的转速应控制在15转/秒以下．   …（12分）

点评 本题考查了相关系数r与线性回归方程的求法与应用问题，是综合性题目．

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