Question

5．是否存在实数 a，使函数f（x）=cos²x+2asinx+3a-1在闭区间上的最大值为 4，若存在，则求出对应的 a 值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 化简函数f（x），分a≤-1时，-1＜a＜1时，a≥1时，利用函数的单调性即可求出答案．

解答 解：f（x）=cos²x+2asinx+3a-1=1-sin²x+2asinx+3a-1=-sin²x+2asinx+3a=-（sinx-a）²+3a+a²，sinx∈[-1，1]，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴f（t）=-（t-a）²+3a+a²对称轴为t=a，
 当a≤-1时，函数f（t）在[-1，1]上是减函数，∴f（x）_max=f（-1）=a-1=4，解得a=5，舍去
 当-1＜a＜1时，函数f（t）在[-1，a]上为增函数，在（a，1）上为减函数，∴f（x）_max=f（a）=3a+a²=4，解得a=1或a=-4，舍去，
当a≥1时，函数f（t）在[-1，1]上是增函数，∴f（x）_max=f（1）=5a-1=4，解得a=1，
综上所述，存在实数a=1，使函数f（x）=cos²x+2asinx+3a-1在闭区间上的最大值为 4

点评 本题考查了二倍角公式以及二次函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题