Question

8．已知平面内一动点M到点F（1，0）距离比到直线x=-3的距离小2．设动点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，过点B作直线：x=-1的垂线，垂足为D，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求证：①x₁•x₂=1，y₁•y₂=-4；      ②A、O、D三点共线 （O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得点M到点F（1，0）的距离与其到直线x=1的距离相等，进而分析可得点M的轨迹为抛物线，且其焦点为F（1，0），准线为x=-1，由抛物线的标准方程计算可得答案；
（2）①联立直线x=my+1与抛物线的方程，可得y²-4my-4=0，利用韦达定理，可得结论；
②设D（-1，y₂），则k_AO-k_OD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}-{y}_{2}$=$\frac{4+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}}$=0，即可证明结论．

解答 解：（1）根据题意，点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，
即点M到点F（1，0）的距离与其到直线x=-1的距离相等，
则点M的轨迹为抛物线，且其焦点为F（1，0），准线为x=-1，
则其轨迹方程为y²=4x；               …（6分）
（2）①联立直线x=my+1与抛物线的方程，可得y²-4my-4=0，
∴y₁•y₂=-4，x₁•x₂=1 …（9分）
②设D（-1，y₂），则k_AO-k_OD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}-{y}_{2}$=$\frac{4+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}}$=0，
所以A、O、D三点共线．…（12分）

点评 本题考查抛物线的定义以及抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，关键是灵活运用抛物线的定义．