Question

12．如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AB与CD所成的角为45°，点E，F，G，H分别在棱EC，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是1．

Answer 1

分析 利用线面平行的性质可证HG∥AB，同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，可证四边形EFGH为平行四边形．又利用AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD，可得四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．

解答 解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，
∴HG∥AB；
同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，
所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四边形EFGH为平行四边形．
又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．
所以：四边形EFGH为矩形．
设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2x，HG=2（1-x），
S_EFGH=FG×HG=4x（1-x）．
=-4（x-$\frac{1}{2}$）²+1，
根据二次函数的性质可知：S_EFGH面积的最大值1．
故答案为：1．

点评 本题考查了四面体ABCD中的对称性来证明四边形是矩形．同时考查了动点的问题以及灵活性的运用．属于中档题．