题目内容
（2013•荆门模拟）如图，已知直线OP1，OP2为双曲线E：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 27 |
| 4 |
| ||
| 2 |
（1）若P1、P2点的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2之间满足怎样的关系？并证明你的结论；
（2）求双曲线E的方程；
（3）设双曲线E上的动点M，两焦点F1、F2，若∠F1MF2为钝角，求M点横坐标x0的取值范围．
分析：（1）由双曲线的离心率，结合a2+b2=c2得到a，b的关系，从而求出双曲线的渐近线方程，进一步求出两渐近线夹角的正弦值，由△P1OP2的面积为
列式得到P1、P2点的横坐标x1、x2之间的关系；
（2）设出双曲线上一点P，由P为线段P1P2的一个三等分点得到P的坐标与P1、P2点的坐标的关系，结合（1）中求出的x1、x2之间的关系得到P的横纵坐标的关系，即双曲线E的方程；
（3）设出M点的坐标，把纵坐标用横坐标表示，由向量
，
的数量积小于0求解M点横坐标x0的取值范围．
| 27 |
| 4 |
（2）设出双曲线上一点P，由P为线段P1P2的一个三等分点得到P的坐标与P1、P2点的坐标的关系，结合（1）中求出的x1、x2之间的关系得到P的横纵坐标的关系，即双曲线E的方程；
（3）设出M点的坐标，把纵坐标用横坐标表示，由向量
| MF1 |
| MF2 |
解答：解：（1）双曲线方程为
-
=1，由已知得
=
，
∴
=
，即
=
，∴
=
，∴渐近线方程为y=±
x，
则P1（x1，
x1），P2（x2，-
x2）．
设渐近线y=
x的倾斜角为θ，则tanθ=
．
∴sin2θ=
=
=
，
∴S△P1OP2=
=
|OP1||OP2|sin2θ=
•
，
∴x1•x2=
；
（2）不妨设P分
所成的比为λ=2，双曲线上点P（x，y），则
x=
，y=
=
．
∴x1+2x2=3x，x1-2x2=2y．
∴（3x）2-（2y）2=(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=8x1x2=36，
∴
-
=1．即为双曲线E的方程；
（3）由（2）知C=
，∴F1（-
，0），F2（
，0），
设M（x0，y0），则y02=
x02-9，
=（-
-x0，-y0），
=（
-x0，-y0），
∴
•
=x02-13+y02=
x02-22．
若∠F1MF2为钝角，则
x02-22＜0，
∴|x0|＜
，又|x0|＞2，
∴x0的范围为（-
，-2）∪（2，
）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
∴
| c2 |
| a2 |
| 13 |
| 4 |
| a2+b2 |
| a2 |
| 13 |
| 4 |
| b2 |
| a2 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
则P1（x1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
设渐近线y=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴sin2θ=
| 2tanθ |
| 1+tan2θ |
2×
| ||
1+
|
| 12 |
| 13 |
∴S△P1OP2=
| 27 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
|
|
| 12 |
| 13 |
∴x1•x2=
| 9 |
| 2 |
（2）不妨设P分
| P1P2 |
x=
| x1+2x2 |
| 3 |
| y1+2y2 |
| 3 |
| x1-2x2 |
| 2 |
∴x1+2x2=3x，x1-2x2=2y．
∴（3x）2-（2y）2=(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=8x1x2=36，
∴
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 9 |
（3）由（2）知C=
| 13 |
| 13 |
| 13 |
设M（x0，y0），则y02=
| 9 |
| 4 |
| MF1 |
| 13 |
| MF2 |
| 13 |
∴
| MF1 |
| MF2 |
| 13 |
| 4 |
若∠F1MF2为钝角，则
| 13 |
| 4 |
∴|x0|＜
| 2 |
| 13 |
| 286 |
∴x0的范围为（-
| 2 |
| 13 |
| 286 |
| 2 |
| 13 |
| 286 |
点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，解答（1）的方法是运用△P1OP2的面积找关系式，其中涉及到利用切函数表示倍角的弦函数，学生思维有一定难度，求解（2）时用到了定比分点公式，寻找P点坐标满足的条件思维跨度较大．该题属于难度较大的题目．
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