Question

6．如果X～B（n，p），其0＜p＜1，那么当k由0增大到n时，P（X=k）是怎样变化的？k取何值时，p（X=k）最大？

Answer 1

分析 由已知得P（X=k）=${C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}$，由$\left\{\begin{array}{l}{p（n=k）≥p（n=k-1）}\\{p（n=k）≥p（n=k+1）}\end{array}\right.$，能求出k取何值时，p（X=k）最大，当k由0增大到n时，P（x=k）的值是由小到大，然后由大到小．

解答 解：∵X～B（n，p），其0＜p＜1，
∴P（X=k）=${C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}$，k=0，1，2，…，n．
由$\left\{\begin{array}{l}{p（n=k）≥p（n=k-1）}\\{p（n=k）≥p（n=k+1）}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}≥{C}_{n}^{k-1}{p}^{k-1}（1-p）^{n-k+1}}\\{{C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}≥{C}_{n}^{k+1}{p}^{k+1}（1-p）^{n-k-1}}\end{array}\right.$，
解得p（n+1）-1≤k≤p（n+1），
∴当p（n+1）是整数时，k=p（n+1）-1或k=p（n+1）时，p（X=k）最大；
当p（n+1）不是整数时，k=[p（n+1）]时，p（X=k）最大．（[]表示取整．）
当k由0增大到n时，P（x=k）的值是由小到大，然后由大到小．
综上，当p（n+1）是整数时，k取p（n+1）-1或p（n+1）时，p（X=k）最大；
当p（n+1）不是整数时，k取[p（n+1）]时，p（X=k）最大．（[]表示取整．）

点评 本题考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．