Question

1．设函数$y=\sqrt{-{x^2}-3x+4}$的定义域为A，函数y=lg（x²+1）的值域为B，非空集合C={x|m-1≤x≤2m-1}，全集为实数集R．
（1）求集合A∩B和集合∁_RB；
（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的性质分别求出集合A，B，利用集合的基本运算进行求解即可．
（2）根据集合关系A∪C=A，转化为C⊆A，根据集合关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数$y=\sqrt{-{x^2}-3x+4}$的定义域为A，
∴A={x|-x²-3x+4≥0}={x|-4≤x≤1}…（2分）
∵x²+1≥1，∴lg（x²+1）≥lg1=0
即函数y=lg（x²+1）的值域为B={y|y≥0}…（4分）
则集合A∩B={x|0≤x≤1}…（6分）
又∵全集为实数集R，∴C_RB={x|x＜0}…（8分）
（2）∵A∪C=A，∴C⊆A…（10分）
则$\left\{\begin{array}{l}m-1≥-4\\ 2m-1≤1\end{array}\right.$，即-3≤m≤1…（12分）
又要使集合C={x|m-1≤x≤2m-1}为非空集合，
则必须m-1≤2m-1，即m≥0…（13分）
也即所求实数m的取值范围为[0，1]．   …（14分）

点评 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据函数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键．