Question

17．已知向量$\overrightarrow a$=（sinθ，cosθ-2sinθ），$\overrightarrow b$=（1，2），其中0＜θ＜π．
（1）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求sinθ•cosθ的值；
（2）若|$\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．
（2）由|$\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$，化简得sin2θ+cos2θ=-1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，所以2sinθ=cosθ-2sinθ，
显然cosθ≠0，所以$tanθ=\frac{1}{4}$．                                   
所以sinθ•cosθ=$\frac{sinθ•cosθ}{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$=$\frac{tanθ}{{{{tan}^2}θ+1}}$=$\frac{4}{17}$，
（2）因为$|\vec a|=|\vec b|$，所以$\sqrt{{{sin}^2}θ+{{（cosθ-2sinθ）}^2}}=\sqrt{5}$，
所以cos²θ+sinθcosθ=0，cosθ=0或sinθ=-cosθ．
又0＜θ＜π，所以$θ=\frac{π}{2}$或$θ=\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．