Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₃≤6，S₄≥8，S₆≤20，当a₄取得最大值时，数列{a_n}的公差为（　　）

• A、4
• B、

  4

  3

• C、

  8

  9

• D、

  34

  9

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列

专题：等差数列与等比数列

分析：设公差为d，由S₃≤6，S₄≥8，S₅≤20，得到关于a₄和d的不等式，联立解得d的范围，对d分类讨论求得a₄的最大值，求出此时d的值即可得答案．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则S₃=a₁+a₂+a₃=3a₄-6d≤6，∴a₄≤2d+2
S₄=S₃+a₄=4a₄-6d≥8，有

3

2

d+2≤a₄≤2d+2，解得d≥0．
S₅=S₄+a₄+d=5a₄-5d≤20
a₄≤d+4，有

3

2

d+2≤a₄≤d+4，解得d≤4
∴0≤d≤4．
a₄≤min{2d+2，d+4}
0≤d≤2时，2d+2≤d+4，此时a₄≤2d+2≤2×2+2=6 
2≤d≤4时，d+4≤2d+2，此时a₄≤d+4≤4+4=8   
a₄的最大值为8，此时公差d=4．
a₄=8，d=4．
a₁=-4，a₂=0，a₃=4，a₄=8，a₅=12
此时S₃=0，S₄=8，S₅=20，满足条件．
故选：A

点评：本题考查等差数列的求和公式，以及等差数列的通项公式，涉及分类讨论的数学思想方法，属中档题．