Question

已知函数f（x），对一切实数x都满足f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x），且f（x）=0有3个实数根，则这3个实根之和为（　　）

• A、3
• B、

  9

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用条件f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x），得函数的对称性，从而得到方程根的对称性，结合中点坐标公式从而解决问题．

解答： 解：∵满足f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x），
∴函数f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，
又∵方程f（x）=0有三个实根，
∴三个实根必然也关于直线x=

1

2

对称，
其中必有一个根是

1

2

，另两个根的和为1，
∴这三个实根的和为

3

2

．
故选D．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查函数的对称性，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．